Bản đồ Gauss là gì? Mọi điều về bản đồ Gauss

Bản đồ Gauss là gì?

Bản đồ Gauss là một hàm N từ một bề mặt định hướng M trong không gian Euclide R ^ 3đến hình cầu đơn vị trong R ^ 3. Nó liên kết với mọi điểm trên bề mặt vectơ pháp tuyến đơn vị được định hướng của nó, wowhay4u.com. Vì không gian tiếp tuyến tại một điểm trên song song với không gian tiếp tuyến tại điểm ảnh của nó trên mặt cầu, vi phân có thể được coi như một ánh xạ của không gian tiếp tuyến tại chính nó. Yếu tố quyết định của bản đồ này là độ cong Gaussian, và một nửa âm của dấu vết là độ cong trung bình. PMdNP

Bản đồ Gauss có thể được xác định (toàn cục) nếu và chỉ khi bề mặt có thể định hướng được, trong trường hợp đó độ của nó bằng một nửa đặc tính Euler. Bản đồ Gauss luôn có thể được xác định cục bộ (tức là trên một phần nhỏ của bề mặt). Định thức Jacobian của bản đồ Gauss bằng độ cong Gauss, và vi phân của bản đồ Gauss được gọi là toán tử hình dạng .

Gauss lần đầu tiên viết bản thảo về chủ đề này vào năm 1825 và xuất bản năm 1827.

Ngoài ra còn có một bản đồ Gauss cho một liên kết, tính toán số liên kết.

Gauss là ai?

Carl Friedrich Gauss đã làm việc trong nhiều lĩnh vực trong cả toán học và vật lý, bao gồm lý thuyết số, phân tích, hình học vi phân, trắc địa, từ tính, thiên văn học và quang học. Công việc của ông đã có một ảnh hưởng to lớn trong nhiều lĩnh vực.

Gauss đã xuất bản các công trình về lý thuyết số, lý thuyết toán học về xây dựng bản đồ và nhiều chủ đề khác. Vào những năm 1830, ông bắt đầu quan tâm đếntừ tính trên mặt đất và tham gia vào cuộc khảo sát đầu tiên trên toàn thế giới về từ trường của Trái đất (để đo nó, ông đã phát minh ra từ kế). Cùng với đồng nghiệp Göttingen, nhà vật lýWilhelm Weber, ông đã làm ra chiếc điện báo đầu tiên, nhưng một chủ nghĩa kỳ thị nhất định đã ngăn cản ông theo đuổi phát minh một cách hăng hái. Thay vào đó, ông đã rút ra các hệ quả toán học quan trọng từ công trình này cho cái mà ngày nay được gọi là lý thuyết thế năng, một nhánh quan trọng của vật lý toán học phát sinh trong nghiên cứu điện từ và lực hấp dẫn.

Gauss cũng viết về bản đồ học, lý thuyết về các phép chiếu bản đồ. Đối với nghiên cứu của mình về các bản đồ bảo toàn góc, ông đã được trao giải thưởng của Viện Hàn lâm Khoa học Đan Mạch vào năm 1823. Công trình này đã tiến gần đến việc gợi ý rằng các hàm phức tạp của mộtbiến phức tạp nói chung là bảo toàn góc, nhưng Gauss đã ngừng làm cho thông tin chi tiết cơ bản đó trở nên rõ ràng, để nóBernhard Riemann, người đã đánh giá cao công việc của Gauss. Gauss cũng có những hiểu biết chưa được công bố khác về bản chất của các hàm phức và tích phân của chúng, một số trong số đó ông đã tiết lộ cho bạn bè.

Sau cái chết của Gauss vào năm 1855, việc khám phá ra rất nhiều ý tưởng mới lạ trong số các bài báo chưa được xuất bản của ông đã mở rộng ảnh hưởng của ông sang phần còn lại của thế kỷ. Sự chấp nhận hình học phi Euclide không đến với công trình ban đầu của Bolyai và Lobachevsky, nhưng thay vào đó, nó đến với việc xuất bản gần như đồng thời những ý tưởng chung của Riemann về hình học, bản tường trình rõ ràng và chặt chẽ của Eugenio Beltrami người Ý về nó, và bản tư nhân của Gauss ghi chú và thư từ.